수학의 역사 속에서 단순한 공식이 아닌, 한 시대의 패러다임을 전환시킨 정리들이 존재합니다. 이 글에서는 시대의 흐름을 뒤흔든 대표 수학자 페르마, 유클리드, 리만의 핵심 정리들을 소개합니다. 이들의 정리는 수학의 영역을 넘어서 과학, 철학, 기술에까지 영향을 미치며, 지금도 여전히 많은 논의와 연구의 대상이 되고 있습니다.
페르마의 마지막 정리: 350년의 수학적 미스터리
피에르 드 페르마는 17세기 프랑스 수학자이며, 현대 수 이론의 기초를 놓은 인물입니다. 그의 가장 유명한 업적은 바로 페르마의 마지막 정리입니다. 그는 책 여백에 “나는 이 정리에 대한 놀라운 증명을 알고 있지만, 여백이 부족하여 적지 않겠다”고 남겼고, 이 말은 350년이 넘도록 수학자들의 도전과 흥미를 자극했습니다.
정리의 내용은 간단합니다. 세 자연수 a, b, c에 대해 n이 2보다 큰 정수일 때, aⁿ + bⁿ = cⁿ을 만족하는 해는 존재하지 않는다는 것입니다. 이 간단한 주장은 당시 수학 이론으로는 증명할 수 없었고, 결국 1994년 영국의 수학자 앤드루 와일스에 의해 마침내 증명되었습니다.
와일스의 증명은 단순히 정리를 해결하는 데 그치지 않았습니다. 그의 논문은 타니야마-시무라 추측, 타원 곡선, 모듈러 형식 등 고차원 수학 이론들을 동원한 엄청난 작업이었습니다. 이는 현대 수학의 발전을 크게 앞당긴 사건이 되었고, 페르마의 정리가 단지 오래된 퍼즐이 아닌, 학문 발전의 촉매였음을 증명했습니다.
오늘날에도 페르마의 정리는 수학의 신비와 도전정신을 상징합니다. 그것은 증명의 결과보다, 수학을 향한 인간의 끊임없는 탐구와 열정을 상징하는 이야기로, 수많은 젊은 수학자들에게 영감을 주고 있습니다.
유클리드 기하학: 수학을 체계로 만든 고전
기원전 300년경, 고대 그리스의 수학자 유클리드는 인류 최초의 수학 교과서라 할 수 있는 《원론(Elements)》을 집필하였습니다. 이 책은 23세기 이상 동안 수학 교육의 기초로 사용될 정도로 구조적이고 논리적인 체계를 갖추고 있었으며, 현대 수학의 기초를 닦은 불멸의 저작입니다.
유클리드는 간단한 공리와 정의에서 출발하여 수백 개의 정리를 도출했습니다. 이 중 가장 핵심적인 것은 바로 평면기하학의 5가지 공준, 특히 제5공준(평행선 공준)입니다. 제5공준은 한 직선과 외부의 한 점을 지나는 직선이 단 하나 존재한다는 내용으로, 이후 비유클리드 기하학이 등장하는 계기를 마련합니다.
유클리드의 업적은 단순히 공간에 대한 이해를 넘어서, 논리적 추론과 수학적 증명이라는 사고방식 자체를 확립한 데 있습니다. 그는 증명의 순서를 명확히 하고, 이론을 위계적으로 구성함으로써 ‘수학은 논리로 쌓아 올리는 구조물’이라는 관점을 세상에 제시했습니다.
유클리드의 기하학은 르네상스 시대 예술가들의 원근법에 적용되었고, 뉴턴의 고전역학, 아인슈타인의 상대성 이론에서도 영향을 주었습니다. 유클리드의 기하학 체계는 그 자체로 수학이 과학적 사고의 표준이 되는 전환점이 되었으며, 이는 지금까지도 이어지는 수학적 사고의 근간입니다.
리만 가설: 수학계의 최대 난제
19세기 독일의 수학자 베른하르트 리만은 해석학, 미분기하학, 수이론 등 수학의 다양한 분야에 지대한 영향을 끼친 인물입니다. 특히 1859년에 발표한 리만 가설은 오늘날까지도 증명되지 않은 수학계의 최대 난제 중 하나입니다.
리만 가설은 간단히 말해 리만 제타 함수의 비자명한 영점이 모두 실수부가 1/2이라는 주장입니다. 이 가설은 단지 복잡한 복소함수의 성질에 대한 것이 아니라, 소수의 분포를 설명하는 열쇠가 되기 때문에 수학 전반에 걸쳐 중대한 의미를 지닙니다.
만약 리만 가설이 참이라면, 소수의 분포가 예측 가능하게 되고, 암호학, 난수 생성, 수이론 등 현대 정보기술의 핵심 영역에 큰 영향을 미치게 됩니다. 하지만 2025년 현재까지도 누구도 그 진위를 증명하지 못했고, 이는 밀레니엄 문제로 선정되어 100만 달러의 상금이 걸려 있는 7대 난제 중 하나로 남아 있습니다.
리만은 이외에도 곡률을 다루는 리만 기하학의 창시자로, 이는 이후 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 4차원 시공간 개념을 설명하는 데 핵심적으로 사용되었습니다. 그의 수학적 직관력과 복소평면 해석은 지금까지도 깊은 연구가 진행 중입니다.
리만 가설은 단지 풀리지 않은 문제 그 이상입니다. 그것은 수학의 정밀성과 미지의 세계가 만나는 지점이며, 수많은 수학자들이 이 거대한 벽에 도전하고 있습니다. 리만 가설은 현대 수학의 심장부에서 여전히 뛰고 있는 수수께끼입니다.
페르마, 유클리드, 리만의 정리는 단순히 수학적 사실을 전달하는 공식이 아니라, 인류의 사고 체계와 과학적 탐구를 근본적으로 바꾼 지적 유산입니다. 이들의 정리는 시대를 넘어서 새로운 학문을 열고, 과학과 기술의 방향을 결정지었으며, 오늘날에도 여전히 영향을 미치고 있습니다. 수학이 우리 삶과 얼마나 깊이 연결되어 있는지를 이해하고 싶다면, 이 위대한 정리들을 되새겨보는 것이야말로 가장 의미 있는 출발점입니다.